22. Se $A$ e $B$ são matrizes de $M_{2x2}(\mathbb{R})$ tais que $B^2 = I$ e $A^2 = AB + I$, encontre o valor máximo de $\det(A)$.

A) $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ B) $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C) $\sqrt{5}$ D) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ E) $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Para resolver essa questão, precisamos analisar as condições dadas para as matrizes $A$ e $B$. Sabemos que $B^2 = I$, o que implica que $B$ é uma matriz ortogonal e suas autovalores são $\pm 1$. Além disso, temos $A^2 = AB + I$.

Podemos reescrever $A^2 - AB - I = 0$. Considerando $A$ como uma matriz $2x2$, podemos assumir que $A$ tem autovalores $\lambda_1$ e $\lambda_2$. O determinante de $A$ é o produto dos autovalores, ou seja, $\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2$.

A equação característica de $A$ é $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$. Substituindo na equação $A^2 - AB - I = 0$, obtemos que os autovalores de $A$ satisfazem $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$.

Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Portanto, os autovalores de $A$ são $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

O determinante máximo ocorre quando ambos os autovalores são iguais a $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, pois isso maximiza o produto $\lambda_1 \cdot \lambda_2$. Assim, o valor máximo de $\det(A)$ é $\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Portanto, a resposta correta é a alternativa A.