29. Seja $f(x, y) = x^2 - xy + y^2$. Encontre as direções $\mathbf{u}$ e os valores de $D_\mathbf{u}f(1, -1)$ para os quais:

A. $D_\mathbf{u}f(1, -1)$ é máximo B. $D_\mathbf{u}f(1, -1)$ é mínimo C. $D_\mathbf{u}f(1, -1) = 0$ D. $D_\mathbf{u}f(1, -1) = 4$ E. $D_\mathbf{u}f(1, -1) = -3$

Para encontrar as direções e valores de $D_\mathbf{u}f(1, -1)$, calculamos o gradiente de $f$ em $(1, -1)$:

$\nabla f(x, y) = (2x - y, 2y - x)$

Substituindo $(1, -1)$, temos:

$\nabla f(1, -1) = (3, -3)$

A direção máxima ocorre na direção do gradiente, que é $(3, -3)$. Normalizando, obtemos $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$ e o valor máximo é $||\nabla f(1, -1)|| = 2\sqrt{2}$.

A direção mínima é oposta ao gradiente, $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1)$, com valor mínimo $-2\sqrt{2}$.

Para $D_\mathbf{u}f(1, -1) = 0$, $\mathbf{u}$ deve ser ortogonal a $(3, -3)$, ou seja, qualquer vetor ortogonal a $(1, -1)$.

Para $D_\mathbf{u}f(1, -1) = 4$, escolhemos $\mathbf{u}$ tal que $\nabla f(1, -1) \cdot \mathbf{u} = 4$. Uma solução é $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$.

Para $D_\mathbf{u}f(1, -1) = -3$, escolhemos $\mathbf{u}$ tal que $\nabla f(1, -1) \cdot \mathbf{u} = -3$. Uma solução é $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, -1)$.