29. Seja $ƒ(x, y) = x^2 – xy + y^2 – y$. Encontre as direções $\mathbf{u}$ e os valores de $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1)$ para os quais:

a. $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1)$ é máximo b. $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1)$ é mínimo c. $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1) = 0$ d. $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1) = 4$ e. $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1) = –3$

Para resolver essa questão, precisamos calcular o gradiente de $ƒ(x, y)$ e, em seguida, usar esse gradiente para determinar as direções e valores de $D_\mathbf{u}ƒ(1, –1)$.

1. Cálculo do gradiente: $\nabla ƒ(x, y) = \left( \frac{\partial ƒ}{\partial x}, \frac{\partial ƒ}{\partial y} \right) = (2x - y, 2y - x - 1)$

   Avaliando em $(1, -1)$: $\nabla ƒ(1, -1) = (2(1) - (-1), 2(-1) - 1 - 1) = (3, -4)$

2. Direção de máximo e mínimo:

   • A direção de máximo é a direção do gradiente: $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{6}}(3, -4)$, e o valor máximo de $D_\mathbf{u}ƒ(1, -1)$ é o módulo do gradiente: $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
   • A direção de mínimo é a direção oposta ao gradiente: $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-3, 4)$, e o valor mínimo de $D_\mathbf{u}ƒ(1, -1)$ é $-5$.

3. Condição $D_\mathbf{u}ƒ(1, -1) = 0$:

   • Para que $D_\mathbf{u}ƒ(1, -1) = 0$, $\mathbf{u}$ deve ser ortogonal ao gradiente. Assim, $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 2)$.

4. Condição $D_\mathbf{u}ƒ(1, -1) = 4$:

   • Precisamos de uma direção $\mathbf{u}$ tal que $\nabla ƒ(1, -1) \cdot \mathbf{u} = 4$. Resolvendo, encontramos $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 2)$.

5. Condição $D_\mathbf{u}ƒ(1, -1) = -3$:

   • Precisamos de uma direção $\mathbf{u}$ tal que $\nabla ƒ(1, -1) \cdot \mathbf{u} = -3$. Resolvendo, encontramos $\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-1, -2)$.