3. Relativamente a certa questão política local, existem duas correntes de opinião A e B. Determinada fonte de informação declara que os adeptos de A são em número superior ao dos adeptos de B. Os dirigentes de B resolvem então inquirir aleatoriamente 1000 indivíduos, tendo verificado que apenas 450 apoiavam B, enquanto os restantes preferiam A.

a) Diga, com base nos resultados obtidos no inquérito, se se pode concluir que a corrente A é maioritária. Use α = 5%

Para determinar se a corrente A é maioritária, podemos realizar um teste de hipótese para proporções. A hipótese nula ($H_0$) é que a proporção de adeptos de A é igual à proporção de adeptos de B, ou seja, $p_A = p_B = 0.5$. A hipótese alternativa ($H_1$) é que a proporção de adeptos de A é maior que a de B, ou seja, $p_A > p_B$.

No inquérito, 450 pessoas apoiam B, então 550 pessoas apoiam A. A proporção observada de adeptos de A é $\hat{p}_A = \frac{550}{1000} = 0.55$.

Vamos calcular o valor do teste z:

$z = \frac{\hat{p}_A - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{1000}}} = \frac{0.55 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.25}{1000}}} = \frac{0.05}{0.0158} \approx 3.16$

Consultando a tabela normal padrão, um valor de $z = 3.16$ corresponde a um p-valor muito menor que 0.05. Portanto, rejeitamos a hipótese nula $H_0$ e aceitamos a hipótese alternativa $H_1$.

Assim, com um nível de significância de 5%, podemos concluir que a corrente A é maioritária.