4. A sequência $(a_k)_{k \geq 0}$ é tal que $a_0 = 0$, $a_{2n-1} = a_{n-2} + n$ e $a_{2n} = a_{2n-1} + n$, para todo inteiro $n \geq 1$. Se $Q = \{k \in \mathbb{Z}_+; a_k \text{ é quadrado perfeito}\}$, pode-se afirmar que:

A) 2024 ∈ Q. B) 2025 ∈ Q. C) Q é finito. D) Q contém infinitos números pares. E) Q contém infinitos números ímpares.

Para resolver essa questão, precisamos analisar a sequência $(a_k)$. Começamos com $a_0 = 0$.

Para $n = 1$, temos:

• $a_1 = a_{-1} + 1 = 0 + 1 = 1$ (considerando $a_{-1} = 0$ por convenção)
• $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

Para $n = 2$, temos:

• $a_3 = a_0 + 2 = 0 + 2 = 2$
• $a_4 = a_3 + 2 = 2 + 2 = 4$

Para $n = 3$, temos:

• $a_5 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$
• $a_6 = a_5 + 3 = 4 + 3 = 7$

Para $n = 4$, temos:

• $a_7 = a_2 + 4 = 2 + 4 = 6$
• $a_8 = a_7 + 4 = 6 + 4 = 10$

Para $n = 5$, temos:

• $a_9 = a_3 + 5 = 2 + 5 = 7$
• $a_{10} = a_9 + 5 = 7 + 5 = 12$

Para $n = 6$, temos:

• $a_{11} = a_4 + 6 = 4 + 6 = 10$
• $a_{12} = a_{11} + 6 = 10 + 6 = 16$

Observamos que $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, $a_4 = 4$, $a_5 = 4$, e $a_{12} = 16$ são quadrados perfeitos.

A sequência parece gerar quadrados perfeitos em índices ímpares e pares, mas não de forma regular. No entanto, como $a_{12} = 16$ é um quadrado perfeito e $12$ é par, podemos inferir que a sequência pode gerar infinitos quadrados perfeitos em índices ímpares, pois a estrutura da sequência permite que, para valores maiores de $n$, mais quadrados perfeitos possam aparecer.

Portanto, a afirmação correta é que $Q$ contém infinitos números ímpares, pois a estrutura da sequência permite que muitos valores de $a_k$ sejam quadrados perfeitos em índices ímpares.