4. A sequência $(a_k)_{k \geq 0}$ é tal que $a_0 = 0$, $a_{2n} = 4a_{2n-2} + n$ e $a_{2n-1} = a_{2n-1} + n$, para todo inteiro $n \geq 1$. Se $Q = \{k \in \mathbb{Z}; a_k \text{ é quadrado perfeito}\}$, pode-se afirmar que:

A) 2024 ∈ Q. B) 2025 ∉ Q. C) Q é finito. D) Q contém infinitos números pares. E) Q contém infinitos números ímpares.

Para resolver essa questão, precisamos analisar a sequência $(a_k)$. Sabemos que $a_0 = 0$. Vamos calcular os primeiros termos para entender o padrão:

1. $a_0 = 0$.
2. Para $n=1$, $a_2 = 4a_0 + 1 = 1$ e $a_1 = a_0 + 1 = 1$.
3. Para $n=2$, $a_4 = 4a_2 + 2 = 6$ e $a_3 = a_2 + 2 = 3$.
4. Para $n=3$, $a_6 = 4a_4 + 3 = 27$ e $a_5 = a_4 + 3 = 9$.

Observando os valores calculados, percebemos que $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_3 = 3$, $a_4 = 6$, $a_5 = 9$, $a_6 = 27$, etc.

Os valores que são quadrados perfeitos são $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, e $a_5 = 9$. Note que $a_5 = 9$ é um quadrado perfeito e corresponde a um índice ímpar.

A sequência $a_{2n-1}$ cresce de forma que $a_{2n-1} = a_{2n-2} + n$, o que implica que para valores ímpares de $k$, podemos ter quadrados perfeitos. Como não há restrição para $n$, podemos ter infinitos valores de $n$ que geram quadrados perfeitos para índices ímpares.

Portanto, a afirmação correta é que $Q$ contém infinitos números ímpares, ou seja, a alternativa correta é E.