A distância percorrida por uma partícula pode ser calculada pela área da curva da velocidade projetada sobre o eixo x. Suponha que a posição de uma partícula em movimento seja dada pela função $v(t) = 4t - 4$, onde $v$ é a posição em metros e $t$ é o tempo em segundos. Qual é a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo $0 \leq t \leq 5$?

Para calcular a distância total percorrida pela partícula, precisamos integrar a função velocidade $v(t) = 4t - 4$ no intervalo de tempo de $0$ a $5$ segundos. A integral da função velocidade nos dará a posição da partícula, e a diferença entre as posições nos extremos do intervalo nos dará a distância percorrida.

A integral de $v(t)$ é:

$\int (4t - 4) \, dt = 2t^2 - 4t + C$

Calculando a posição nos extremos do intervalo:

• Para $t = 0$: $s(0) = 2(0)^2 - 4(0) + C = C$

• Para $t = 5$: $s(5) = 2(5)^2 - 4(5) + C = 50 - 20 + C = 30 + C$

A distância percorrida é a diferença entre as posições nos extremos do intervalo:

$\Delta s = s(5) - s(0) = (30 + C) - C = 30$

Portanto, a distância total percorrida pela partícula é $30$ metros.