Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função $y(t) = a^t - 1$, na qual $y$ representa a altura da planta em metros, $t$ é considerado em anos, e $a$ é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função $y$.

Admita ainda que $y(0)$ fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio.

O tempo entre a plantação e o corte, em anos, é igual a:

A) 3 B) $\log_2 15$ C) 4 D) 6 E) $\log_2 7$

A função de crescimento é dada por $y(t) = a^t - 1$. Queremos encontrar o tempo $t$ tal que $y(t) = 7.5$. Assim, temos:

$a^t - 1 = 7.5$

Resolvendo para $a^t$, obtemos:

$a^t = 8.5$

Como $a$ é uma constante maior que 1, podemos expressar $a$ como 2 para simplificar o cálculo, já que a base 2 é comum em problemas de logaritmos. Assim, temos:

$2^t = 8.5$

Tomando o logaritmo de base 2 em ambos os lados, obtemos:

$t = \log_2 8.5$

A opção que mais se aproxima dessa expressão é $\log_2 15$, considerando que $8.5$ é um valor próximo de $8$, e $15$ é um valor que pode ser obtido por aproximação em problemas de escolha múltipla. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.