As 5 lâmpadas de um mural, que estão alinhadas, estão queimadas e precisam ser trocadas. Para realizar tal troca, as 5 lâmpadas devem ser removidas e 5 novas lâmpadas devem ser instaladas, com a remoção ocorrendo necessariamente antes da instalação, mas não necessariamente imediatamente antes. Ou seja, é possível remover uma lâmpada queimada de um local e realizar outras remoções ou instalações antes de instalar uma nova lâmpada naquele local. Além disso, existem apenas 6 lâmpadas novas disponíveis: 2 vermelhas, 2 azuis e 2 verdes. De quantas maneiras é possível realizar tal troca, levando em consideração as cores das lâmpadas e a ordem de remoção e instalação de cada uma?

Para resolver o problema, precisamos considerar duas etapas: a escolha das lâmpadas e a ordem de instalação.

1. Escolha das lâmpadas: Temos 6 lâmpadas (2 vermelhas, 2 azuis e 2 verdes) e precisamos escolher 5. A quantidade de maneiras de escolher 5 lâmpadas de 6, considerando as cores, é dada pelo coeficiente multinomial: $\frac{6!}{2!2!2!}$. Isso ocorre porque estamos escolhendo 5 lâmpadas de um total de 6, onde as lâmpadas são de três cores diferentes.

2. Ordem de instalação: Após escolher as lâmpadas, precisamos instalá-las em 5 posições. A quantidade de maneiras de instalar 5 lâmpadas em 5 posições é dada por $\frac{10!}{5!5!}$. Isso ocorre porque temos 10 ações (5 remoções e 5 instalações) e precisamos escolher 5 delas para serem instalações.

Multiplicando as duas quantidades, obtemos o número total de maneiras de realizar a troca: $\frac{6!}{2!2!2!} \times \frac{10!}{5!5!}$.