Calcule o limite: $\lim _{x\to \,1}\left(\frac{x^4-2x^3+x^2-2x+2}{x-1}\right)$

Para calcular o limite $\lim _{x\to \,1}\left(\frac{x^4-2x^3+x^2-2x+2}{x-1}\right)$, devemos primeiro verificar se a substituição direta de $x = 1$ resulta em uma forma indeterminada. Substituindo diretamente, obtemos $\frac{1^4 - 2 \cdot 1^3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \frac{1 - 2 + 1 - 2 + 2}{0} = \frac{0}{0}$, que é uma forma indeterminada.

Para resolver isso, podemos tentar fatorar o numerador. O polinômio no numerador é $x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$. Podemos usar a divisão polinomial ou o teorema do resto para encontrar que $x - 1$ é um fator do numerador. Após a divisão, encontramos que o numerador pode ser reescrito como $(x - 1)(x^3 - x^2 + 2)$.

Assim, a expressão original se torna: $\frac{(x - 1)(x^3 - x^2 + 2)}{x - 1}$

Cancelando o termo $x - 1$, obtemos: $x^3 - x^2 + 2$

Agora, podemos substituir $x = 1$ na expressão simplificada: $1^3 - 1^2 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$.

Portanto, o limite é 2.