Num grupo de $x$ pessoas, 2 serão escolhidos para uma atividade. Se são possíveis serem formadas 28 duplas, calcule $x$.

Para resolver essa questão, utilizamos o conceito de combinação, já que a ordem dos escolhidos não importa. A fórmula para calcular o número de combinações de $n$ elementos tomados $r$ a $r$ é dada por:

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

No caso, queremos formar duplas ($r = 2$) a partir de $x$ pessoas, e sabemos que o número de combinações é 28. Assim, temos:

$C(x, 2) = \frac{x!}{2!(x-2)!} = 28$

Simplificando a expressão, obtemos:

$\frac{x(x-1)}{2} = 28$

Multiplicando ambos os lados por 2, temos:

$x(x-1) = 56$

Resolvendo a equação quadrática $x^2 - x - 56 = 0$, encontramos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Substituindo $a = 1$, $b = -1$, $c = -56$, temos:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 15}{2}$

As soluções são $x = 8$ e $x = -7$. Como $x$ representa o número de pessoas, deve ser positivo. Portanto, $x = 8$.