1. Calcule os Montantes e os Juros, derivados de um capital investido no valor de 450.000ECV, aplicado a uma taxa de juros de 7,5% ao ano, (Regime de Capitalização Simples), tendo em conta os seguintes períodos de capitalização: a) Durante três meses; b) Durante nove meses;

2. Determine o valor presente, em regime de capitalização composta, no quadro das anuidades ordenarias, à taxa anual de 2,5%, resultante de 4 recebimentos anuais, no valor de 20.000ECV.

3. Usando o resultado do exercício anterior e com base no sistema de capitalização exponencial, determine o valor futuro da operação, utilizando a mesma taxa de juros e o mesmo período.

4. Sendo a taxa nominal de juros de 26% a.a. cobrada por uma instituição financeira, pede-se para calcular o custo efetivo anual desta operação, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: a) Mensal; b) Trimestral; e c) Semestral.

Para calcular os montantes e os juros em regime de capitalização simples, utilizamos as fórmulas:

• Montante: $M = C + J$
• Juros: $J = C \, i \, t$

Onde:

• $C$ é o capital inicial (450.000 ECV)
• $i$ é a taxa de juros (7,5% ao ano ou 0,075)
• $t$ é o tempo em anos

a) Durante três meses:

• Tempo em anos: $t = \frac{3}{12} = 0,25$
• Juros: $J = 450.000 \, \times \, 0,075 \, \times \, 0,25 = 8.437,50 \, \text{ECV}$
• Montante: $M = 450.000 + 8.437,50 = 458.437,50 \, \text{ECV}$

b) Durante nove meses:

• Tempo em anos: $t = \frac{9}{12} = 0,75$
• Juros: $J = 450.000 \, \times \, 0,075 \, \times \, 0,75 = 25.312,50 \, \text{ECV}$
• Montante: $M = 450.000 + 25.312,50 = 475.312,50 \, \text{ECV}$

Para determinar o valor presente de uma anuidade ordinária em regime de capitalização composta, usamos a fórmula do valor presente de uma anuidade (PVA):

$PVA = PMT \, \times \, \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$

Onde:

• $PMT$ é o pagamento anual (20.000 ECV)
• $i$ é a taxa de juros anual (2,5% ou 0,025)
• $n$ é o número de períodos (4 anos)

$PVA = 20.000 \, \times \, \frac{1 - (1 + 0,025)^{-4}}{0,025}$

$PVA = 20.000 \, \times \, \frac{1 - (1.025)^{-4}}{0.025}$

$PVA = 20.000 \, \times \, \frac{1 - 0.9057}{0.025}$

$PVA = 20.000 \, \times \, 3.6308$

$PVA = 72.616 \, \text{ECV}$

Para determinar o valor futuro usando o sistema de capitalização exponencial, utilizamos a fórmula do valor futuro de uma anuidade (FVA):

$FVA = PMT \, \times \, \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$

$FVA = 20.000 \, \times \, \frac{(1.025)^4 - 1}{0.025}$

$FVA = 20.000 \, \times \, \frac{1.1038 - 1}{0.025}$

$FVA = 20.000 \, \times \, 4.152$

$FVA = 83.040 \, \text{ECV}$

Para calcular o custo efetivo anual (CEA) a partir da taxa nominal, usamos a fórmula:

$CEA = (1 + \frac{i}{m})^m - 1$

Onde:

• $i$ é a taxa nominal anual (26% ou 0,26)
• $m$ é o número de períodos de capitalização por ano

a) Mensal:

• $m = 12$
• $CEA = (1 + \frac{0.26}{12})^{12} - 1$
• $CEA = (1 + 0.02167)^{12} - 1$
• $CEA = 1.2973 - 1$
• $CEA = 0.2973$ ou 29,73%

b) Trimestral:

• $m = 4$
• $CEA = (1 + \frac{0.26}{4})^4 - 1$
• $CEA = (1 + 0.065)^4 - 1$
• $CEA = 1.2837 - 1$
• $CEA = 0.2837$ ou 28,37%

c) Semestral:

• $m = 2$
• $CEA = (1 + \frac{0.26}{2})^2 - 1$
• $CEA = (1 + 0.13)^2 - 1$
• $CEA = 1.2969 - 1$
• $CEA = 0.2969$ ou 29,69%