Considere os vetores $\mathbf{V} = (2, -3, 1)$ e $\mathbf{W} = (-1, 4, 1)$ no plano cartesiano.

a) Determine a distância entre as extremidades dos vetores $\mathbf{V}$ e $\mathbf{W}$.

b) Calcule o ângulo entre os vetores $\mathbf{V}$ e $\mathbf{W}$.

c) Utilizando o produto vetorial, determine a área do paralelogramo formado pelos vetores $\mathbf{V}$ e $\mathbf{W}$.

a) $\sqrt{(2 - (-1))^2 + ((-3) - 4)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$

b) O ângulo $\theta$ entre dois vetores $\mathbf{V}$ e $\mathbf{W}$ é dado por: $\cos \theta = \frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{W}}{\|\mathbf{V}\| \|\mathbf{W}\|}$

Primeiro, calculamos o produto escalar $\mathbf{V} \cdot \mathbf{W}$: $\mathbf{V} \cdot \mathbf{W} = 2(-1) + (-3)(4) + 1(1) = -2 - 12 + 1 = -13$

Agora, calculamos as normas dos vetores: $\|\mathbf{V}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ $\|\mathbf{W}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$

Substituindo na fórmula do cosseno: $\cos \theta = \frac{-13}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{18}}$

c) A área do paralelogramo é dada pela norma do produto vetorial $\mathbf{V} \times \mathbf{W}$.

Calculamos o produto vetorial: $\mathbf{V} \times \mathbf{W} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(1) - (1)(4)) - \mathbf{j}((2)(1) - (1)(-1)) + \mathbf{k}((2)(4) - (-3)(-1))$ $= \mathbf{i}(-3 - 4) - \mathbf{j}(2 + 1) + \mathbf{k}(8 - 3)$ $= -7\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$

A norma do produto vetorial é: $\|\mathbf{V} \times \mathbf{W}\| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83}$

Portanto, a área do paralelogramo é $\sqrt{83}$.