Considere uma aplicação à taxa de juro anual nominal de 1%. Os depósitos são efetuados no início de cada trimestre, sendo o 1º depósito efetuado imediatamente, e crescem 1% ao trimestre. Sabendo que o valor acumulado no final dos 4 anos é € 881,00, o valor do 1º depósito é:

A) …€ 52,04;

B) ...€ 50,00;

C) ...€ 50,13;

D) … nenhuma das hipóteses anteriores.

Para resolver essa questão, precisamos calcular o valor do primeiro depósito que, ao crescer 1% a cada trimestre, resulta em um valor acumulado de € 881,00 após 4 anos.

Primeiro, calculamos o número total de trimestres em 4 anos: 4 anos * 4 trimestres/ano = 16 trimestres.

A taxa de juro trimestral efetiva é de 1% ou 0,01.

O valor futuro de uma série de pagamentos que crescem a uma taxa constante pode ser calculado usando a fórmula do valor futuro de uma série crescente:

$FV = P \times \frac{(1 + r)^n - (1 + g)^n}{r - g}$

onde:

• $FV$ é o valor futuro (€ 881,00),
• $P$ é o primeiro pagamento (que queremos encontrar),
• $r$ é a taxa de juro por período (0,01),
• $g$ é a taxa de crescimento dos pagamentos (0,01),
• $n$ é o número de períodos (16).

Substituindo os valores na fórmula:

$881 = P \times \frac{(1 + 0,01)^{16} - (1 + 0,01)^{16}}{0,01 - 0,01}$

Como $r = g$, a fórmula se simplifica para:

$FV = P \times n \times (1 + r)^{n-1}$

Substituindo os valores:

$881 = P \times 16 \times (1 + 0,01)^{15}$

Resolvendo para $P$:

$P = \frac{881}{16 \times (1 + 0,01)^{15}}$

Calculando:

$P \approx \frac{881}{16 \times 1,1609} \approx 52,04$

Portanto, o valor do primeiro depósito é aproximadamente € 52,04, que corresponde à alternativa A.