(d) Um ladrilhamento do plano é uma coleção de regiões do plano, chamadas ladrilhos, que satisfazem as seguintes condições:
(i) A união dessas regiões cobre todo plano, ou seja, qualquer ponto do plano pertence a pelo menos um ladrilho;
(ii) A interseção de quaisquer duas regiões (ou ladrilhos) acontece, no máximo, na borda das regiões.
As figuras a seguir indicam um ladrilhamento do plano (figura 3a) e uma coleção de regiões que não ladrilham o plano (figura 3b).

Considere, neste item, que a distância entre dois pontos é feita pela distância euclidiana.
Mostre que todo reticulado Λ possui a seguinte propriedade: para qualquer ponto x ∈ R^2, existe um ponto y ∈ Λ tal que a distância entre x e y é a menor distância entre x e pontos de Λ. Conclua que a coleção de arredores de cada ponto de um reticulado arbitrário Λ ladrilham o plano.

Um reticulado $\Lambda$ em $\mathbb{R}^2$ é definido por dois vetores base que geram uma rede de pontos através de combinações lineares inteiras. Para qualquer ponto $x \in \mathbb{R}^2$, a propriedade de periodicidade do reticulado garante que sempre existe um ponto $y \in \Lambda$ que minimiza a distância euclidiana até $x$. Isso é devido à estrutura regular e infinita do reticulado, que permite que qualquer ponto no plano esteja próximo de algum ponto do reticulado.

Para ladrilhar o plano com arredores de pontos do reticulado, consideramos que cada ponto do reticulado é o centro de uma região que cobre o espaço ao seu redor. Essas regiões podem ser escolhidas como células de Voronoi, que são definidas de forma que cada ponto dentro de uma célula está mais próximo do ponto central do que de qualquer outro ponto do reticulado. As células de Voronoi satisfazem as condições de ladrilhamento: cobrem todo o plano e se intersectam apenas nas bordas.