Dado $\cos \theta = \frac{1}{3}$, encontre o valor de $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n \cdot \theta)}{2^n}$

Para resolver a soma infinita $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n \cdot \theta)}{2^n}$, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica. A série geométrica é da forma $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$, onde $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão comum.

Neste caso, o primeiro termo $a = \cos(0 \cdot \theta) = 1$ e a razão comum $r = \frac{\cos(\theta)}{2} = \frac{1/3}{2} = \frac{1}{6}$.

Assim, a soma da série é dada por: $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5}$.

No entanto, ao revisar o cálculo, percebemos que a razão correta deve ser considerada como $\frac{1}{2}$, pois a série é baseada em potências de $\frac{1}{2}$, não $\frac{1}{6}$. Portanto, a soma correta é:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Contudo, ao considerar a contribuição de $\cos(n \cdot \theta)$, que é uma função periódica, a soma converge para:

$S = \frac{5}{4}$.