Dado o conjunto $W = \{a + b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$, considere $W$ como subconjunto de $\mathbb{R}$. Esse conjunto é um subespaço vetorial?

Para que $W$ seja um subespaço vetorial de $\mathbb{R}$, ele deve satisfazer três propriedades: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.\n\n1. Vetor nulo: O vetor nulo em $\mathbb{R}$ é $0$. Podemos escrever $0$ como $0 + 0\sqrt{2}$, onde $0, 0 \in \mathbb{Q}$. Portanto, $0 \in W$.\n\n2. Fechamento sob adição: Sejam $x = a_1 + b_1\sqrt{2}$ e $y = a_2 + b_2\sqrt{2}$ dois elementos de $W$, onde $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Q}$. Então, $x + y = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$. Como $a_1 + a_2 \in \mathbb{Q}$ e $b_1 + b_2 \in \mathbb{Q}$, temos que $x + y \in W$.\n\n3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja $c \in \mathbb{Q}$ e $x = a + b\sqrt{2} \in W$. Então, $cx = c(a + b\sqrt{2}) = (ca) + (cb)\sqrt{2}$. Como $ca \in \mathbb{Q}$ e $cb \in \mathbb{Q}$, temos que $cx \in W$.\n\nComo $W$ satisfaz todas essas propriedades, ele é um subespaço vetorial de $\mathbb{R}$.