Dados os pontos $A = (-6, 7)$, $B = (8, 9)$ e $C = (12, 1)$:

(a) Determine as equações das mediatrizes dos lados $AB$ e $BC$.

(b) Obtenha a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos $A$, $B$ e $C$.

Para encontrar as mediatrizes dos lados $AB$ e $BC$, seguimos os seguintes passos:

1. Mediatriz do lado $AB$:

   • Primeiro, encontramos o ponto médio de $AB$: $M_{AB} = \left(\frac{-6 + 8}{2}, \frac{7 + 9}{2}\right) = (1, 8)$.
   • A inclinação da reta $AB$ é $m_{AB} = \frac{9 - 7}{8 + 6} = \frac{1}{7}$.
   • A inclinação da mediatriz é o negativo do inverso da inclinação de $AB$: $m_{med} = -7$.
   • Usando a fórmula da reta $y - y_1 = m(x - x_1)$, temos $y - 8 = -7(x - 1)$, que simplifica para $y = -7x + 15$.

2. Mediatriz do lado $BC$:

   • Ponto médio de $BC$: $M_{BC} = \left(\frac{8 + 12}{2}, \frac{9 + 1}{2}\right) = (10, 5)$.
   • A inclinação da reta $BC$ é $m_{BC} = \frac{1 - 9}{12 - 8} = -2$.
   • A inclinação da mediatriz é $m_{med} = \frac{1}{2}$.
   • Usando a fórmula da reta, $y - 5 = \frac{1}{2}(x - 10)$, que simplifica para $y = \frac{1}{2}x$.

Para a equação da circunferência:

• A circunferência que passa por três pontos é determinada pelo sistema de equações formado pelas mediatrizes dos lados do triângulo formado pelos pontos.
• Resolvendo o sistema formado pelas mediatrizes, encontramos o centro da circunferência $(h, k) = (2, 5)$.
• O raio $r$ é a distância de $(h, k)$ a qualquer dos pontos, por exemplo, $A$: $r = \sqrt{(2 + 6)^2 + (5 - 7)^2} = 10$.
• Assim, a equação da circunferência é $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 100$.