Questão:

Considere a função $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Qual é a derivada de $f(x)$ em relação a $x$?

A) $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

B) $\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

C) $\frac{-1}{(x^2 + 1)^2}$

D) $\frac{1}{(x^2 + 1)^2}$

E) $\frac{-2x}{(x^2 + 1)^3}$

Para encontrar a derivada da função $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$, utilizamos a regra do quociente. A regra do quociente é dada por:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Aqui, temos $u = 1$ e $v = x^2 + 1$. Portanto, $u' = 0$ e $v' = 2x$. Aplicando a regra do quociente, obtemos:

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

Portanto, a alternativa correta é a A.