Questão:

Considere a função $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Qual é a derivada de $f(x)$ em relação a $x$?

A) $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ B) $f'(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ C) $f'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ D) $f'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ E) $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Para encontrar a derivada de $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$, utilizamos a regra do quociente. A regra do quociente é dada por:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Aqui, temos $u = 1$ e $v = x^2 + 1$. Então, $u' = 0$ e $v' = 2x$. Aplicando a regra do quociente, temos:

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

Portanto, a alternativa correta é a A.