1. Desenhe a região de integração e inverta a ordem de integração.
   $\int_0^1 \int_y^{y^2} f(x,y) \, dx \, dy$

2. Uma caixa retangular, sem tampa é feita com 12cm² de papelão. Determine o maior volume possível dessa caixa.

3. Encontre e classifique os pontos críticos de

a) $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1$

b) $f(x, y) = (x^2 + y^2) e^{x^2 - x^2}$

1. Para inverter a ordem de integração, primeiro desenhamos a região de integração no plano xy. A região é delimitada por $0 \leq y \leq 1$ e $y \leq x \leq y^2$. Ao inverter a ordem, obtemos $0 \leq x \leq 1$ e $\sqrt{x} \leq y \leq x$. A nova integral é $\int_0^1 \int_{\sqrt{x}}^x f(x,y) \, dy \, dx$.

2. Para maximizar o volume da caixa, seja $x$ a largura, $y$ a profundidade e $h$ a altura. A área total é dada por $xy + 2xh + 2yh = 12$. O volume é $V = x y h$. Usando multiplicadores de Lagrange ou substituição, encontramos que o volume máximo ocorre quando $x = y = 2$ e $h = 1$, resultando em um volume máximo de $4$ cm³.

3. a) Para encontrar os pontos críticos de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1$, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero: $\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 4y = 0$ e $\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 4x = 0$. Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$. A classificação pode ser feita usando o determinante da matriz Hessiana.

b) Para $f(x, y) = (x^2 + y^2) e^{x^2 - x^2}$, simplificamos para $f(x, y) = x^2 + y^2$. Os pontos críticos são encontrados quando $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x = 0$ e $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y = 0$, resultando no ponto crítico $(0,0)$. Este é um ponto de mínimo global.