Determine a solução do sistema linear a seguir:

[\begin{cases} x + y - z = 0 \ x + 2y - 2z = -1 \ 2x + 2y - z = 2 \end{cases}]

Opções:

A) x = -1, y = -1, z = 2. B) x = 1, y = 2, z = 2. C) x = 1, y = 1, z = 2. D) x = 1, y = 2, z = 1. E) x = -1, y = -2, z = 2.

Para resolver o sistema linear, podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação:

1. Da primeira equação, temos: $x + y - z = 0$, que podemos reescrever como $x = z - y$.

2. Substituímos $x = z - y$ na segunda equação: $z - y + 2y - 2z = -1$ Simplificando, obtemos: $-z + y = -1$ ou $y = z - 1$.

3. Substituímos $x = z - y$ e $y = z - 1$ na terceira equação: $2(z - y) + 2(z - 1) - z = 2$ $2z - 2y + 2z - 2 - z = 2$ $3z - 2y = 4$

4. Substituímos $y = z - 1$ em $3z - 2y = 4$: $3z - 2(z - 1) = 4$ $3z - 2z + 2 = 4$ $z + 2 = 4$ $z = 2$

5. Com $z = 2$, encontramos $y = z - 1 = 2 - 1 = 1$.

6. Finalmente, substituímos $z = 2$ e $y = 1$ em $x = z - y$: $x = 2 - 1 = 1$.

Portanto, a solução do sistema é $x = 1$, $y = 2$, $z = 1$, que corresponde à opção D.