Determine o valor de $k$ para que o vetor $\mathbf{u} = (0, 2, 1, k)$ seja combinação linear do conjunto de vetores $\{ (1, 0, 1, 3), (2, 1, 2, 0), (0, 3, 1, 0)\}$.

Para que o vetor $\mathbf{u} = (0, 2, 1, k)$ seja uma combinação linear dos vetores $\mathbf{v}_1 = (1, 0, 1, 3)$, $\mathbf{v}_2 = (2, 1, 2, 0)$ e $\mathbf{v}_3 = (0, 3, 1, 0)$, deve existir um conjunto de escalares $a$, $b$, e $c$ tais que:

$a(1, 0, 1, 3) + b(2, 1, 2, 0) + c(0, 3, 1, 0) = (0, 2, 1, k)$

Isso nos dá o seguinte sistema de equações lineares:

1. $a + 2b = 0$
2. $b + 3c = 2$
3. $a + 2b + c = 1$
4. $3a = k$

Resolvendo o sistema:

Da equação (1): $a = -2b$

Substituindo na equação (3): $-2b + 2b + c = 1 \Rightarrow c = 1$

Substituindo $c = 1$ na equação (2): $b + 3(1) = 2 \Rightarrow b = -1$

Substituindo $b = -1$ na expressão para $a$: $a = -2(-1) = 2$

Finalmente, substituindo $a = 2$ na equação (4): $3(2) = k \Rightarrow k = 6$

Portanto, o valor de $k$ é 6.