Questão
Exercício Suplementar de Introdução à Análise
Questão a) Prove o seguinte resultado descoberto por Pitágoras e seus discípulos: não existe x ∈ Q tal que x² = 2.
b) Sejam x, r ∈ Q tais que x > 0 e x² < 2 e 0 < r < min (1, \frac{2 - x^2}{2x + 1}) (isso significa que (r < 1) e (r < \frac{2 - x^2}{2x + 1})). Prove que ((x + r)^2 < 2).
c) Sejam y, r ∈ Q tais que y > 0 e y² > 2 e 0 < r < (\frac{y^2 - 2}{2y}). Prove que ((y - r)^2 > 2) e (y - r > 0).
d) Conclua por b) que o conjunto X = {x ∈ Q; x > 0 e x² < 2} não possui elemento máximo e por c) que o conjunto Y = {y ∈ Q; y > 0 e y² > 2} não possui elemento mínimo.
e) Prove que se x ∈ X e y ∈ Y, então x < y.
f) Conclua por a), c) e d) que se existir b = sup(X), então b² = 2 ⇒ b ∉ Q. Sugestão: seja b = sup(X). Observe que b² ≥ 2, senão b seria elemento máximo de X. Se b² > 2, então b ∈ Y e, como Y não possui elemento mínimo, existe a ∈ Y tal que a < b e resultaria de d) que x < a < b, ∀x ∈ X, mas isso não pode ocorrer (Por quê?).
g) Conclua que se existir b = sup(X), então b ∉ Q.
A resposta completa requer uma análise detalhada de cada item.
Para resolver cada item, é necessário aplicar conceitos de análise matemática, como a densidade dos números racionais, propriedades de supremum e infimum, e a relação entre números racionais e irracionais. A questão a) é um clássico resultado sobre a irracionalidade de (\sqrt{2}). Nos itens b) e c), são exploradas desigualdades envolvendo números racionais próximos de (\sqrt{2}) e suas consequências. O item d) conclui sobre a inexistência de elementos máximo e mínimo nos conjuntos dados. O item e) explora a relação entre elementos dos conjuntos X e Y. Finalmente, os itens f) e g) discutem a impossibilidade de (\sqrt{2}) ser racional, mesmo que considerado como um supremo de um conjunto de racionais.