Identifique quais, entre as funções seguintes, são autofunções do operador $\frac{d}{dx}$ :

(a) $e^{ikx}$; (b) $\cos kx$; (c) $k$; (d) $kx$; (e) $e^{-\alpha x^2}$.

Nos casos apropriados, dê o autovalor correspondente.

Para determinar se uma função é uma autofunção do operador derivada $\frac{d}{dx}$, devemos verificar se a derivada da função é proporcional à própria função.

(a) $e^{ikx}$: A derivada é $\frac{d}{dx} e^{ikx} = ike^{ikx}$, que é proporcional a $e^{ikx}$. Portanto, $e^{ikx}$ é uma autofunção com autovalor $ik$.

(b) $\cos kx$: A derivada é $\frac{d}{dx} \cos kx = -k\sin kx$, que não é proporcional a $\cos kx$. Portanto, não é uma autofunção.

(c) $k$: A derivada é $\frac{d}{dx} k = 0$, que não é proporcional a $k$. Portanto, não é uma autofunção.

(d) $kx$: A derivada é $\frac{d}{dx} kx = k$, que não é proporcional a $kx$. Portanto, não é uma autofunção.

(e) $e^{-\alpha x^2}$: A derivada é $\frac{d}{dx} e^{-\alpha x^2} = -2\alpha x e^{-\alpha x^2}$, que não é proporcional a $e^{-\alpha x^2}$. Portanto, não é uma autofunção.

Assim, a única autofunção é $e^{ikx}$ com autovalor $ik$.