As plantas aquáticas são encontradas apenas nos 10 metros superiores dos lagos e oceanos, o que é explicado pelo fato de a intensidade da luz diminuir exponencialmente com a profundidade. De acordo com a lei de Bouguer-Lambert, um raio luminoso que atinge a superfície da água com intensidade $I_0$ tem uma intensidade $I$ a uma profundidade $x$ metros, onde $I = I_0 e^{-kx}$ com $k >0$. A constante $k$, conhecida como coeficiente de absorção, depende do comprimento de onda da luz e da densidade da água. Suponha que um raio de luz solar a 3 m de profundidade tenha uma intensidade igual a 10 % da intensidade na superfície. Qual é a intensidade do mesmo raio a 1 m de profundidade? (expresse a resposta em termos de $I_0$).

Para resolver essa questão, utilizamos a fórmula da lei de Bouguer-Lambert: $I = I_0 e^{-kx}$. Sabemos que a intensidade a 3 metros de profundidade é 10% da intensidade na superfície, ou seja, $I = 0.1 I_0$ quando $x = 3$. Substituindo na fórmula, temos:

$0.1 I_0 = I_0 e^{-3k}$

Dividindo ambos os lados por $I_0$, obtemos:

$0.1 = e^{-3k}$

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:

$ext{ln}(0.1) = -3k$

Assim, podemos resolver para $k$:

$k = -\frac{\text{ln}(0.1)}{3}$

Agora, queremos encontrar a intensidade a 1 metro de profundidade. Usamos novamente a fórmula $I = I_0 e^{-kx}$, com $x = 1$:

$I = I_0 e^{-k}$

Substituímos $k$ na expressão:

$I = I_0 e^{-\left(-\frac{\text{ln}(0.1)}{3}\right)}$

Simplificando, obtemos:

$I = I_0 e^{\frac{\text{ln}(0.1)}{3}}$

Como $e^{\text{ln}(a)} = a$, temos:

$I = I_0 (0.1)^{1/3}$

Portanto, a intensidade do raio a 1 metro de profundidade é $I = I_0 (0.1)^{1/3}$.