Inverta a ordem de integração e calcule $\int_{0}^{1} \left( \int_{\sqrt{y}}^{1} \sin(x^3) \, dx \right) \, dy.$

Para inverter a ordem de integração, primeiro identificamos a região de integração no plano xy. A integral original é dada por $\int_{0}^{1} \left( \int_{\sqrt{y}}^{1} \sin(x^3) \, dx \right) \, dy$. Isso significa que para cada valor fixo de $y$, $x$ varia de $\sqrt{y}$ a $1$. Assim, a região de integração é delimitada por $y = x^2$ e $x = 1$.\n\nAo inverter a ordem de integração, $x$ varia de $0$ a $1$, e para cada valor fixo de $x$, $y$ varia de $0$ a $x^2$. A integral se torna:\n\n$\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{x^2} \sin(x^3) \, dy \right) \, dx.$\n\nCalculando a integral interna em relação a $y$, obtemos:\n\n$\int_{0}^{x^2} \sin(x^3) \, dy = \sin(x^3) \cdot y \bigg|_{0}^{x^2} = x^2 \sin(x^3).$\n\nAgora, integramos em relação a $x$:\n\n$\int_{0}^{1} x^2 \sin(x^3) \, dx.$\n\nPara resolver essa integral, fazemos a substituição $u = x^3$, $du = 3x^2 \, dx$, ou seja, $x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du$. Quando $x = 0$, $u = 0$, e quando $x = 1$, $u = 1$.\n\nA integral se transforma em:\n\n$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin(u) \, du.$\n\nA integral de $\sin(u)$ é $-\cos(u)$, então:\n\n$\frac{1}{3} \left[ -\cos(u) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( -\cos(1) + \cos(0) \right) = \frac{1}{3} (1 - \cos(1)).$\n\nPortanto, a resposta final é $\frac{1}{3} - \frac{\sin(1)}{3}$.