João possui várias notas de 2 reais e 5 reais. Ele precisa pagar uma conta de 20 reais com estas notas. De quantas formas diferentes ele consegue pagar esta conta?

Para resolver o problema, precisamos encontrar todas as combinações possíveis de notas de 2 reais e 5 reais que somam 20 reais.

Vamos denotar:

• $x$ como o número de notas de 2 reais.
• $y$ como o número de notas de 5 reais.

A equação que representa o problema é:

$2x + 5y = 20$

Agora, vamos encontrar todas as soluções inteiras não-negativas para essa equação:

1. Se $y = 0$, então $2x = 20 \Rightarrow x = 10$. (Solução: 10 notas de 2 reais)
2. Se $y = 1$, então $2x + 5 = 20 \Rightarrow 2x = 15 \Rightarrow x = 7.5$. (Não é uma solução válida, pois $x$ deve ser inteiro)
3. Se $y = 2$, então $2x + 10 = 20 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$. (Solução: 5 notas de 2 reais e 2 notas de 5 reais)
4. Se $y = 3$, então $2x + 15 = 20 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. (Não é uma solução válida, pois $x$ deve ser inteiro)
5. Se $y = 4$, então $2x + 20 = 20 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$. (Solução: 4 notas de 5 reais)

Portanto, as combinações válidas são:

• 10 notas de 2 reais
• 5 notas de 2 reais e 2 notas de 5 reais
• 4 notas de 5 reais

Assim, existem 3 formas diferentes de pagar a conta de 20 reais.