Questão

2ª Lista de Exercícios de Introdução à Análise

Questão 1 a) Prove que o conjunto $\mathbb{Z}[x]$ dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Sugestão: associe a cada $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ o subconjunto $\{a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, a_n\} \subset \mathbb{Z}$ e veja a solução da 3ª Questão da 1ª Lista de Exercícios.

b) Um número real $\alpha$ chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Por exemplo, todo $\alpha = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ é algébrico (tome $f(x) = px - q \in \mathbb{Z}[x]$) e $\alpha = \sqrt[n]{p}$, $p$ primo (tome $f(x) = x^n - p \in \mathbb{Z}[x]$). Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Sugestão: use o seguinte resultado de anéis de polinômios: "todo polinômio de grau $n$ e coeficientes reais possui no máximo $n$ raízes". Se $B$ é o conjunto dos polinômios $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ de grau $n \geq 1$, associe a cada $f(x) \in B$ o conjunto $\mathcal{R}_{f(x)}$ de suas raízes (podemos ter $\mathcal{R}_{f(x)} = \emptyset$, por exemplo $f(x) = x^2 + x + 1$). Se $\mathcal{A}$ é o conjunto dos números algébricos prove que $\mathcal{A} = \bigcup_{f(x) \in B} \mathcal{R}_{f(x)}$.

c) Um número real é transcendente quando não é algébrico. Prove que o conjunto dos números transcendentes não é enumerável.

Questão 2 Prove que $I \subseteq \mathbb{R}$ é um intervalo se, e somente se, dados $a < b \in I$, $a < x < b \Rightarrow x \in I$. Sugestão: para mostrar que $I$ é um intervalo se dados $a < b \in I$, $a < x < b \Rightarrow x \in I$, sejam $\alpha = \inf(I)$ se $I$ é limitado inferiormente e $\beta = \sup(I)$ se $I$ é limitado superiormente. Usando as definições de ínfimo e supremo mostre que $I \subseteq (\alpha, \infty) \subseteq (\alpha, \infty) \subseteq I$ se $I$ é limitado inferiormente, que $I \subseteq (-\infty, \beta) \subseteq (-\infty, \beta) \subseteq I$ se $I$ é limitado superiormente e que $I \subseteq (\alpha, \beta) \subseteq I$ se $I$ é limitado.