Para encontrar o menor valor que a função quadrática f(x)=x2+bx+c pode assumir, precisamos determinar os valores de b e c usando as condições fornecidas.
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A primeira condição é f(1)=−1, o que nos dá:
12+b⋅1+c=−1⇒1+b+c=−1⇒b+c=−2
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A segunda condição é f(2)−f(3)=1:
- Calculando f(2):
f(2)=22+2b+c=4+2b+c
- Calculando f(3):
f(3)=32+3b+c=9+3b+c
- Substituindo na equação f(2)−f(3)=1:
(4+2b+c)−(9+3b+c)=1⇒4+2b+c−9−3b−c=1
−5−b=1⇒b=−6
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Substituindo b=−6 na equação b+c=−2:
−6+c=−2⇒c=4
Agora, temos a função f(x)=x2−6x+4. O menor valor de uma função quadrática ax2+bx+c ocorre no vértice x=−2ab. Para f(x), temos a=1 e b=−6:
- O vértice é em x=−2⋅1−6=3.
- Calculando f(3):
f(3)=32−6⋅3+4=9−18+4=−5
Portanto, o menor valor que f(x) pode assumir é −5.