Considere a figura abaixo. Ela representa uma partícula com massa m se movendo livremente com velocidade $\vec{v_0}$ sobre uma superfície horizontal sem atrito, em rota de colisão com um disco com a mesma massa m e raio R, em repouso. A trajetória incidente da partícula está deslocada de R/2 em relação ao centro do disco. O disco também está livre para se mover sobre a superfície horizontal sem atrito. A partícula colide com o disco e fica presa em seu perímetro. Então, pede-se:

(a) Calcule o momentum linear e o momentum angular totais do sistema “partícula + disco” antes da colisão. Se necessário, adote um ponto de referência de sua escolha, deixando clara essa escolha; (1,5 ponto)

(b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois da colisão; (1,0 ponto)

(c) Após a colisão, calcule a velocidade angular do sistema em relação ao centro de massa; (1,5 ponto)

(d) Calcule a fração de energia cinética que foi dissipada na colisão. (1,0 ponto)

(a) O momentum linear total antes da colisão é dado pela soma dos momenta das duas massas. Como o disco está em repouso, o momentum linear é apenas $m \cdot \vec{v_0}$. O momentum angular em relação ao centro do disco é $m \cdot \vec{v_0} \cdot \frac{R}{2}$.

(b) A velocidade do centro de massa antes da colisão é a média ponderada das velocidades das massas: $\frac{m \cdot \vec{v_0} + m \cdot 0}{m + m} = \frac{\vec{v_0}}{2}$. Após a colisão, como não há forças externas, a velocidade do centro de massa permanece $\frac{\vec{v_0}}{2}$.

(c) Após a colisão, a partícula e o disco giram em torno do centro de massa. A velocidade angular $\omega$ é dada por $\omega = \frac{3\vec{v_0}}{4R}$, considerando a conservação do momentum angular.

(d) A energia cinética inicial é $\frac{1}{2}m\vec{v_0}^2$. Após a colisão, a energia cinética é dividida entre a translação do centro de massa e a rotação. A fração dissipada é $\frac{1}{4}$, calculada pela diferença entre a energia inicial e a energia final.