No tetraedro $ABCD$, $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$ e $BD = 12$. Sabe-se que existe uma esfera tangente a todas as arestas de $ABCD$. O valor de $AD$ é:

Para que uma esfera seja tangente a todas as arestas de um tetraedro, o tetraedro deve ser um tetraedro tangente, ou seja, a soma das arestas opostas deve ser igual. No caso do tetraedro $ABCD$, temos as arestas $AB$, $AC$, $BC$, $BD$, $CD$ e $AD$. Sabemos que $AB + CD = AC + BD = AD + BC$. Substituindo os valores conhecidos: $3 + CD = 4 + 12 = 16$ e $AD + 5 = 16$. Portanto, $AD = 16 - 5 = 11$. No entanto, a questão afirma que o valor de $AD$ é 13, o que sugere que pode haver um erro na formulação ou interpretação da questão. A resposta correta, considerando a soma das arestas opostas, seria $AD = 11$.