Considere a função $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Determine o número de raízes reais da função no intervalo $[-2, 2]$.

Para determinar o número de raízes reais da função $f(x) = x^3 - 3x + 1$ no intervalo $[-2, 2]$, podemos utilizar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela possui pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Primeiro, calculamos os valores da função nos extremos do intervalo:

• $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$
• $f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

Como $f(-2) < 0$ e $f(2) > 0$, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo $[-2, 2]$.

Para encontrar o número exato de raízes, analisamos a derivada da função para identificar possíveis pontos críticos:

• $f'(x) = 3x^2 - 3$
• Igualando a zero: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Os pontos críticos são $x = -1$ e $x = 1$. Calculamos os valores da função nesses pontos:

• $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$
• $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

Observamos que:

• Entre $x = -2$ e $x = -1$, a função muda de $-1$ para $3$, indicando uma raiz.
• Entre $x = -1$ e $x = 1$, a função muda de $3$ para $-1$, indicando outra raiz.
• Entre $x = 1$ e $x = 2$, a função muda de $-1$ para $3$, indicando mais uma raiz.

Portanto, a função possui 3 raízes reais no intervalo $[-2, 2]$.