O número obtido subtraindo um inteiro positivo $k$ do numerador e do denominador da fração $\frac{2026}{2025}$ é igual a $\frac{2025}{2026}$. Qual é a soma dos algarismos de $k$?

A) 33 B) 42 C) 44 D) 9 E) 10

Para resolver o problema, começamos com a equação dada pela condição do problema:

$\frac{2026 - k}{2025 - k} = \frac{2025}{2026}$

Multiplicando em cruz, obtemos:

$(2026 - k) \cdot 2026 = (2025 - k) \cdot 2025$

Expandindo ambos os lados:

$2026 \cdot 2026 - 2026k = 2025 \cdot 2025 - 2025k$

Rearranjando os termos, temos:

$2026^2 - 2025^2 = 2026k - 2025k$

Utilizando a diferença de quadrados, $2026^2 - 2025^2 = (2026 + 2025)(2026 - 2025) = 4051 \cdot 1 = 4051$.

Assim, a equação se torna:

$4051 = k$

A soma dos algarismos de $k = 4051$ é $4 + 0 + 5 + 1 = 10$.

Portanto, a resposta correta é a alternativa E.