O triângulo ABC, com $A = (-a, 0)$, $B = (a, 0)$ e $C = (0, y)$ é equilátero. Quais são os possíveis valores de $y$?

Para que o triângulo ABC seja equilátero, todos os seus lados devem ter o mesmo comprimento. Vamos calcular as distâncias entre os pontos A, B e C.

1. A distância entre A e B é a base do triângulo: $AB = \sqrt{(a - (-a))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a$

2. A distância entre A e C: $AC = \sqrt{(0 - (-a))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{a^2 + y^2}$

3. A distância entre B e C: $BC = \sqrt{(0 - a)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{a^2 + y^2}$

Para o triângulo ser equilátero, as três distâncias devem ser iguais:

• $AB = AC = BC$

Portanto, temos:

$2a = \sqrt{a^2 + y^2}$

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

$(2a)^2 = a^2 + y^2$

$4a^2 = a^2 + y^2$

Subtraindo $a^2$ de ambos os lados:

$3a^2 = y^2$

Resolvendo para $y$, obtemos:

$y = \pm \sqrt{3}a$

Assim, os possíveis valores de $y$ são $y = \sqrt{3}a$ e $y = -\sqrt{3}a$.