Dadas as seguintes equações de uma firma em concorrência perfeita:

$CT = 0,08q^3 - 1,7q^2 + 10q + 7$ $RT = 5q$

Pede-se:

a) Qual o ponto de equilíbrio da firma?

Para encontrar o ponto de equilíbrio, precisamos igualar a receita marginal (RM) ao custo marginal (CM).

1. A receita total (RT) é dada por $RT = 5q$, então a receita marginal (RM) é a derivada de RT em relação a q: $RM = \frac{d(RT)}{dq} = 5$

2. O custo total (CT) é dado por $CT = 0,08q^3 - 1,7q^2 + 10q + 7$, então o custo marginal (CM) é a derivada de CT em relação a q: $CM = \frac{d(CT)}{dq} = 0,24q^2 - 3,4q + 10$

3. Igualamos RM a CM para encontrar o ponto de equilíbrio: $5 = 0,24q^2 - 3,4q + 10$

4. Resolvendo a equação quadrática: $0,24q^2 - 3,4q + 5 = 0$

   Usando a fórmula quadrática $q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, onde $a = 0,24$, $b = -3,4$, $c = 5$:

   $q = \frac{-(-3,4) \pm \sqrt{(-3,4)^2 - 4 \cdot 0,24 \cdot 5}}{2 \cdot 0,24}$

   $q = \frac{3,4 \pm \sqrt{11,56 - 4,8}}{0,48}$

   $q = \frac{3,4 \pm \sqrt{6,76}}{0,48}$

   $q = \frac{3,4 \pm 2,6}{0,48}$

   As soluções são $q = \frac{6}{0,48} = 12,5$ e $q = \frac{0,8}{0,48} \approx 1,67$.

   No contexto de concorrência perfeita, escolhemos o valor que maximiza o lucro, que é $q = 12,5$.

Portanto, o ponto de equilíbrio da firma é $q = 12,5$.