Questão:

Considere a função $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Determine os pontos críticos da função e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Alternativas:

A) Máximo em $x = -1$, mínimo em $x = 1$ B) Máximo em $x = 1$, mínimo em $x = -1$ C) Máximo em $x = 0$, mínimo em $x = 1$ D) Máximo em $x = 1$, ponto de sela em $x = -1$ E) Mínimo em $x = 0$, ponto de sela em $x = 1$

Para encontrar os pontos críticos da função $f(x) = x^3 - 3x + 1$, calculamos a derivada primeira $f'(x) = 3x^2 - 3$. Igualando a zero para encontrar os pontos críticos, temos:

$3x^2 - 3 = 0$

Resolvendo, obtemos $x^2 = 1$, portanto $x = 1$ ou $x = -1$.

Para classificar esses pontos, calculamos a derivada segunda $f''(x) = 6x$. Avaliando a derivada segunda nos pontos críticos:

• Para $x = 1$: $f''(1) = 6 > 0$, indicando um mínimo local.
• Para $x = -1$: $f''(-1) = -6 < 0$, indicando um máximo local.

Portanto, a resposta correta é a alternativa A: Máximo em $x = -1$, mínimo em $x = 1$.