Questão:

Considere a função $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Determine os pontos críticos da função e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Alternativas: A) Máximo em $x = -1$, mínimo em $x = 1$ B) Máximo em $x = 1$, mínimo em $x = -1$ C) Máximo em $x = 0$, mínimo em $x = 2$ D) Máximo em $x = 2$, mínimo em $x = 0$ E) Nenhuma das anteriores

Para encontrar os pontos críticos da função $f(x) = x^3 - 3x + 1$, calculamos a derivada primeira: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Igualando a zero para encontrar os pontos críticos, temos:

$3x^2 - 3 = 0$

Simplificando, obtemos $x^2 = 1$, o que resulta em $x = 1$ e $x = -1$.

Para classificar esses pontos, calculamos a derivada segunda: $f''(x) = 6x$. Avaliando a derivada segunda nos pontos críticos:

• Para $x = -1$: $f''(-1) = 6(-1) = -6$, indicando um máximo local.
• Para $x = 1$: $f''(1) = 6(1) = 6$, indicando um mínimo local.

Portanto, a alternativa correta é A) Máximo em $x = -1$, mínimo em $x = 1$.