3 - Resolva o seguinte problema de valor inicial:
$$\begin{cases} y'' + 4y' + 4y = 0 \ y(0) = -2 \ y'(0) = 7 \end{cases}$$

Solução: A equação característica é:
$$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$$
Cuja solução é: $\lambda = -2$ com multiplicidade 2. Daí, a solução geral é:
$$y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}$$
Substituindo as condições iniciais, temos:
$$\begin{cases} C_1 = -2 \ -2C_1 + C_2 = 7 \end{cases}$$
Resolvendo o sistema acima, temos $C_1 = -2$ e $C_2 = 3$.
Portanto, $y(x) = -2e^{-2x} + 3xe^{-2x}$.

4 - Resolva.
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

Solução: A equação é do tipo Euler-Cauchy, logo fazemos a mudança $x = e^t$ ou $t = \ln x$.

Question

3 - Resolva o seguinte problema de valor inicial:
$$\begin{cases} y'' + 4y' + 4y = 0 \ y(0) = -2 \ y'(0) = 7 \end{cases}$$

Solução: A equação característica é:
$$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$$
Cuja solução é: $\lambda = -2$ com multiplicidade 2. Daí, a solução geral é:
$$y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}$$
Substituindo as condições iniciais, temos:
$$\begin{cases} C_1 = -2 \ -2C_1 + C_2 = 7 \end{cases}$$
Resolvendo o sistema acima, temos $C_1 = -2$ e $C_2 = 3$.
Portanto, $y(x) = -2e^{-2x} + 3xe^{-2x}$.

4 - Resolva.
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

Solução: A equação é do tipo Euler-Cauchy, logo fazemos a mudança $x = e^t$ ou $t = \ln x$.

Accepted Answer

Para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, começamos determinando a equação característica: $$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$$. As raízes são $\lambda = -2$ com multiplicidade 2, o que nos dá a solução geral: $$y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}$$.

Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes:
1. $y(0) = -2$ implica que $C_1 = -2$.
2. $y'(0) = 7$ nos leva a resolver o sistema: $-2C_1 + C_2 = 7$, resultando em $C_2 = 3$.

Portanto, a solução do problema de valor inicial é $$y(x) = -2e^{-2x} + 3xe^{-2x}$$.

Questão Resolvida

Questão

Tem uma questão para resolver?