Prove por indução matemática que $2^n > n^2$ para todo $n \geq 5$.

A prova por indução matemática consiste em dois passos: a base da indução e o passo indutivo. Primeiro, verificamos a base da indução para $n = 5$, onde $2^5 = 32$ e $5^2 = 25$, então $2^5 > 5^2$. Em seguida, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum $k \geq 5$, ou seja, $2^k > k^2$. No passo indutivo, mostramos que $2^{k+1} > (k+1)^2$. Calculamos $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2$. Como $k \geq 5$, temos $2k^2 \geq 50$. Precisamos mostrar que $2k^2 > k^2 + 2k + 1$, que é equivalente a $k^2 > 2k + 1$. Para $k \geq 5$, $k^2 \geq 25$ e $2k + 1 \leq 11$, então $k^2 > 2k + 1$. Assim, a afirmação é verdadeira para $k+1$, completando a prova por indução.