Quais dos seguintes são combinações lineares de $\mathbf{u} = (0, -2, 2)$ e $\mathbf{v} = (1, 3, -1)$?

A) $(2, 2, 2)$ B) $(3, 1, 5)$ C) $(0, 4, 5)$ D) $(0, 0, 0)$

Para determinar se um vetor é uma combinação linear de $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$, precisamos encontrar escalares $a$ e $b$ tais que $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{w}$, onde $\mathbf{w}$ é o vetor em questão.

1. Para $\mathbf{w} = (2, 2, 2)$:

   • Sistema: $0a + 1b = 2$, $-2a + 3b = 2$, $2a - 1b = 2$.
   • Resolvendo, não encontramos valores consistentes para $a$ e $b$.

2. Para $\mathbf{w} = (3, 1, 5)$:

   • Sistema: $0a + 1b = 3$, $-2a + 3b = 1$, $2a - 1b = 5$.
   • Resolvendo, não encontramos valores consistentes para $a$ e $b$.

3. Para $\mathbf{w} = (0, 4, 5)$:

   • Sistema: $0a + 1b = 0$, $-2a + 3b = 4$, $2a - 1b = 5$.
   • Resolvendo, não encontramos valores consistentes para $a$ e $b$.

4. Para $\mathbf{w} = (0, 0, 0)$:

   • Sistema: $0a + 1b = 0$, $-2a + 3b = 0$, $2a - 1b = 0$.
   • A solução trivial $a = 0$, $b = 0$ satisfaz o sistema.

Portanto, apenas o vetor $(0, 0, 0)$ é uma combinação linear de $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$.