Questão
Questão 6: Um terreno de 10.000 hectares sofreu um grande impacto ambiental e comprometeu gravemente o cultivo de lavouras nesta região. Com o objetivo de recuperá-lo deve-se adubar com 140g de nitrato, 190g de fosfato e 205g de potássio para cada 10 m².
- Cada quilograma do adubo I custa R$ 5,00 e contém 10g de nitrato, 10g de fosfato e 100g de potássio.
- Cada quilograma do adubo II custa R$ 6,00 e contém 10g de nitrato, 100g de fosfato e 30g de potássio.
- Cada quilograma do adubo III custa R$ 5,00 e contém 50g de nitrato, 20g de fosfato e 20g de potássio.
- Cada quilograma do adubo IV custa R$ 15,00 e contém 20g de nitrato, 40g de fosfato e 35g de potássio.
Quanto de cada adubo deve-se misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar R$ 54,00 a cada 10m² com adubação? Monte o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o usando matriz e escalonamento.
Seja , , , e as quantidades em quilogramas dos adubos I, II, III e IV, respectivamente. Temos o seguinte sistema de equações:
- Para o nitrato:
- Para o fosfato:
- Para o potássio:
- Para o custo:
Resolvendo este sistema de equações, obtemos:
Portanto, deve-se misturar 3 kg do adubo I, 0 kg do adubo II, 1 kg do adubo III e 2 kg do adubo IV para cada 10 m².
Para resolver o problema, montamos um sistema de equações lineares baseado nas quantidades de nutrientes e no custo total. Cada equação representa uma restrição: a primeira para o nitrato, a segunda para o fosfato, a terceira para o potássio e a quarta para o custo.
Utilizando o método de escalonamento, transformamos a matriz aumentada do sistema em uma matriz escalonada, permitindo encontrar os valores de , , , e . Após o escalonamento, encontramos que , , , e . Isso significa que devemos usar 3 kg do adubo I, 0 kg do adubo II, 1 kg do adubo III e 2 kg do adubo IV para cada 10 m².