Questão:

Considere a função $f(x) = \frac{1}{x}$. Qual das alternativas abaixo representa a derivada de $f(x)$?

A) $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ B) $f'(x) = \frac{1}{x^2}$ C) $f'(x) = \frac{2}{x^3}$ D) $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$ E) $f'(x) = \frac{1}{x}$

Para encontrar a derivada da função $f(x) = \frac{1}{x}$, podemos reescrever a função como $f(x) = x^{-1}$. Aplicando a regra do poder para derivadas, que afirma que se $f(x) = x^n$, então $f'(x) = nx^{n-1}$, obtemos:

$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Portanto, a alternativa correta é a A) $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. As outras alternativas estão incorretas porque não aplicam corretamente a regra do poder ou apresentam sinais ou expoentes incorretos.