Questão:

Considere a função $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Determine o número de raízes reais da equação $f(x) = 0$.

Alternativas:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Nenhuma das anteriores

Para determinar o número de raízes reais da função $f(x) = x^3 - 3x + 1$, podemos analisar o comportamento da função e suas derivadas. A função é um polinômio cúbico, que pode ter até 3 raízes reais.

Primeiro, calculamos a derivada $f'(x) = 3x^2 - 3$. Igualando a zero para encontrar os pontos críticos, temos:

$3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Analisando o sinal da derivada em intervalos determinados pelos pontos críticos $x = -1$ e $x = 1$, temos:

• Para $x < -1$, $f'(x) > 0$ (função crescente)
• Para $-1 < x < 1$, $f'(x) < 0$ (função decrescente)
• Para $x > 1$, $f'(x) > 0$ (função crescente)

A função tem um máximo local em $x = -1$ e um mínimo local em $x = 1$. Calculando $f(-1)$ e $f(1)$:

• $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$
• $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$

Como $f(-1) > 0$ e $f(1) < 0$, e a função é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo $(-1, 1)$. Além disso, como a função é cúbica e tem comportamento crescente para $x > 1$ e $x < -1$, ela deve cruzar o eixo $x$ mais duas vezes, totalizando 3 raízes reais.

Portanto, a resposta correta é C) 3.