Questão:

Considere a função $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Determine os pontos críticos da função e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Alternativas:

A) Máximo em $x = -1$, mínimo em $x = 1$. B) Mínimo em $x = -1$, máximo em $x = 1$. C) Máximo em $x = 1$, ponto de inflexão em $x = -1$. D) Mínimo em $x = 1$, ponto de inflexão em $x = -1$. E) Ponto de inflexão em $x = 1$, máximo em $x = -1$.

Para encontrar os pontos críticos da função $f(x) = x^3 - 3x + 1$, calculamos a primeira derivada: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Igualando a zero para encontrar os pontos críticos, temos:

$3x^2 - 3 = 0$

Resolvendo, obtemos $x^2 = 1$, ou seja, $x = 1$ e $x = -1$.

Para classificar esses pontos, calculamos a segunda derivada: $f''(x) = 6x$.

• Para $x = 1$: $f''(1) = 6 > 0$, indicando um ponto de mínimo.
• Para $x = -1$: $f''(-1) = -6 < 0$, indicando um ponto de inflexão.

Portanto, a resposta correta é a alternativa D: Mínimo em $x = 1$, ponto de inflexão em $x = -1$.