**Questão:**

Um estudante está analisando a função $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$. Ele deseja encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $x$ onde a derivada da função é igual a zero. Qual é a derivada da função e quais são os pontos críticos?

**Alternativas:**

A) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 1$ e $x = 3$.

B) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 2$ e $x = 3$.

C) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 1$ e $x = 2$.

D) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 3$.

E) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 2$.

Question

**Questão:**

Um estudante está analisando a função $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$. Ele deseja encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $x$ onde a derivada da função é igual a zero. Qual é a derivada da função e quais são os pontos críticos?

**Alternativas:**

A) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 1$ e $x = 3$.

B) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 2$ e $x = 3$.

C) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 1$ e $x = 2$.

D) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 3$.

E) Derivada: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$; Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 2$.

Accepted Answer

Para encontrar a derivada da função $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$, aplicamos a regra do poder para cada termo:

1. A derivada de $x^3$ é $3x^2$.
2. A derivada de $-6x^2$ é $-12x$.
3. A derivada de $9x$ é $9$.
4. A derivada de uma constante ($15$) é $0$.

Portanto, a derivada da função é $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos $f'(x) = 0$:

$$3x^2 - 12x + 9 = 0$$

Dividindo toda a equação por $3$, obtemos:

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Fatorando, temos:

$$(x - 1)(x - 3) = 0$$

Assim, os pontos críticos são $x = 1$ e $x = 3$. Portanto, a alternativa correta é a **A**.

Questão Resolvida

Questão

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