Questão:

Um estudante está estudando a função $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$. Ele deseja encontrar os pontos críticos da função e determinar a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Para isso, ele deve seguir os seguintes passos:

1. Calcular a derivada da função $f(x)$.
2. Encontrar os valores de $x$ para os quais a derivada é igual a zero.
3. Determinar a natureza dos pontos críticos usando a segunda derivada.

Pergunta:

Quais são os pontos críticos da função $f(x)$ e qual é a natureza de cada um deles?

Para encontrar os pontos críticos, primeiro calculamos a derivada da função:

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar os valores críticos:

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $x = 1$ e $x = 3$.

Para determinar a natureza desses pontos, calculamos a segunda derivada:

$f''(x) = 6x - 12$

Substituímos os valores críticos na segunda derivada:

• Para $x = 1$: $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$, que é menor que zero, indicando um ponto de máximo local.
• Para $x = 3$: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6$, que é maior que zero, indicando um ponto de mínimo local.