Questão:

Um estudante está estudando a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$. Ele sabe que o gráfico dessa função intercepta o eixo $y$ no ponto $(0, 3)$ e possui um vértice no ponto $(1, 2)$. Com base nessas informações, determine os valores de $a$, $b$ e $c$.

Alternativas:

A) $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$ B) $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$ C) $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$ D) $a = -1$, $b = -2$, $c = 3$ E) $a = 2$, $b = -2$, $c = 3$

Para determinar os valores de $a$, $b$ e $c$, utilizamos as informações fornecidas:

1. O ponto de interseção com o eixo $y$ é $(0, 3)$, o que significa que $c = 3$.
2. O vértice da parábola é $(1, 2)$. A fórmula do vértice para uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ é dada por $x_v = -\frac{b}{2a}$. Como o vértice é $(1, 2)$, temos $x_v = 1$ e $f(1) = 2$.

Substituindo $x = 1$ na função, temos: $f(1) = a(1)^2 + b(1) + 3 = 2$ $a + b + 3 = 2$ $a + b = -1$

Como $x_v = 1$, temos: $1 = -\frac{b}{2a}$ $b = -2a$

Substituindo $b = -2a$ na equação $a + b = -1$: $a - 2a = -1$ $-a = -1$ $a = 1$

Substituindo $a = 1$ em $b = -2a$: $b = -2(1) = -2$

Portanto, os valores são $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$. A alternativa correta é A.