No retângulo $ABCD$ da figura, $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $AD$ e $BC$. Qual é a razão entre a área da parte sombreada e a área do retângulo $ABCD$?

Alternativas:

A) $\frac{1}{5}$ B) $\frac{1}{4}$ C) $\frac{1}{3}$ D) $\frac{1}{2}$ E) $\frac{2}{3}$

Para resolver essa questão, vamos analisar a figura. O retângulo $ABCD$ é dividido em várias partes por linhas que conectam os pontos médios $M$ e $N$ aos vértices opostos. A área sombreada é um dos triângulos formados por essas linhas.

Como $M$ e $N$ são pontos médios, cada lado do retângulo é dividido em duas partes iguais. Isso significa que cada triângulo formado tem a mesma base e altura, sendo que a área de cada triângulo é proporcional à área total do retângulo.

A área do triângulo sombreado é um quarto da área total do retângulo, pois ele é um dos quatro triângulos congruentes formados pela interseção das diagonais e das linhas que conectam os pontos médios aos vértices opostos.

Portanto, a razão entre a área da parte sombreada e a área do retângulo $ABCD$ é $\frac{1}{4}$.