QUESTÃO 15 A figura a seguir é formada por uma circunferência inscrita num quadrado.

Sabendo-se que a distância do centro da circunferência até qualquer um dos vértices do quadrado é d cm. Determine a razão entre a área sombreada e a área do quadrado.

(A) (4-pi). (B) (1-pi/4). (C) 2(4-pi). (D) 1/16(1-pi/4). (E) 1/8(1-pi/4).

Para resolver essa questão, precisamos determinar a razão entre a área sombreada e a área do quadrado.

1. A distância do centro da circunferência até um vértice do quadrado é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são metade do lado do quadrado. Assim, se o lado do quadrado é $s$, então: $\frac{s}{2} \cdot \sqrt{2} = d$ $s = d \cdot \sqrt{2}$

2. A área do quadrado é $s^2 = (d \cdot \sqrt{2})^2 = 2d^2$.

3. O raio da circunferência é metade do lado do quadrado, então $r = \frac{s}{2} = \frac{d \cdot \sqrt{2}}{2}$.

4. A área da circunferência é $\pi r^2 = \pi \left(\frac{d \cdot \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{2}$.

5. A área sombreada é a diferença entre a área do quadrado e a área da circunferência: $2d^2 - \frac{\pi d^2}{2} = d^2 \left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$

6. A razão entre a área sombreada e a área do quadrado é: $\frac{d^2 \left(2 - \frac{\pi}{2}\right)}{2d^2} = \frac{1}{2} \left(2 - \frac{\pi}{2}\right) = 1 - \frac{\pi}{4}$

Portanto, a razão é $\frac{1}{8}(1-\frac{\pi}{4})$, que corresponde à alternativa (E).